Le solitaire à billes

Le mouvement, et le seul qui existe

Une bille saute par-dessus une bille voisine, en ligne droite, et atterrit dans le trou vide situé juste derrière. La bille sautée est retirée du plateau. Il n'existe aucun autre mouvement : ni déplacement d'une case, ni saut en diagonale, ni saut par-dessus deux billes. Chaque coup fait donc disparaître exactement une bille, ce qui garantit qu'une partie se termine en trente et un sauts au maximum.

La partie s'arrête quand aucun saut n'est plus possible, ce qui arrive presque toujours avant la fin. Le but n'est pas seulement de vider le plateau, mais de terminer avec une seule bille, posée au centre.

Pourquoi la plupart des parties finissent à quatre billes

Le piège du débutant est de jouer les coups faciles, ceux qui se présentent au bord. On dégarnit alors la périphérie et on se retrouve avec trois ou quatre billes isolées dans des coins opposés, incapables de se rejoindre. Une bille seule dans un coin est perdue : plus rien ne peut la sauter, et elle ne peut sauter personne.

La bonne conduite consiste à travailler par groupes de trois billes en L, qui se résorbent proprement, et à ramener systématiquement le jeu vers le centre. Une position dense au milieu offre toujours des coups, une position éclatée n'en offre plus.

Trente et un sauts, et pas un de moins

Une partie parfaite compte exactement trente et un sauts, puisqu'il faut retirer trente et une des trente-deux billes de départ. Le nombre de coups n'est donc pas un critère de performance, contrairement à beaucoup de casse-tête : seul compte le nombre de billes restantes. Il existe en revanche un classement officieux sur le nombre de mouvements enchaînés, un mouvement pouvant regrouper plusieurs sauts successifs de la même bille.

La démonstration qui interdit certaines fins

Un résultat mathématique élégant, dû à John Conway, permet de savoir à l'avance sur quelles cases une dernière bille peut se retrouver. En attribuant à chaque trou une valeur tirée d'un nombre d'or algébrique, on montre que la somme du plateau ne peut pas augmenter au fil des sauts. Cette contrainte élimine la majorité des cases : à partir du plateau standard vidé en son centre, la dernière bille ne peut finir qu'au centre ou sur quatre cases précises.

C'est aussi ce raisonnement qui prouve l'impossibilité de certains problèmes dérivés, comme le fameux « soldat de Conway », où l'on cherche à faire avancer une bille au-delà d'une ligne interdite. Aucune suite de sauts, si longue soit-elle, ne le permet.

Une invention de prison, ou de cour

L'origine du jeu est incertaine et les récits varient. La version la plus répandue attribue son invention à un aristocrate français emprisonné à la Bastille au dix-septième siècle, qui aurait imaginé le jeu pour tromper l'ennui. La première trace certaine est une gravure de 1697 représentant une dame de la cour de Louis XIV jouant sur un plateau identique à celui d'aujourd'hui. Le plateau à trente-sept trous, dit européen, est en réalité antérieur au plateau à trente-trois trous, dit anglais, qui est celui utilisé ici.

Questions sur le plateau